フーリエ変換と複素関数（複素解析）

こんばんは！！聞いてください！！！あたしばかすぎて全然知らなかったんだけど、数学のお話。

積分範囲が無限だけど特異点を含む積分ってどうやってやるのかなーってずっと思ってて、なんとなく無視して積分してもたまに正解とか出るから、勉強してなかったの！

しかし！！この前フーリエ変換をつかってある関数を変換しようとしたときに、『適当にやってたんじゃ絶対に解けない！！』って言う積分に出会ってしまって、相当時間悩んでたんだけど（このときは何の分野を使って解くのかもわかっていない！）、ふと複素解析の本を開いて、涙を流した！！

すごいんだよ！！てっきり実数範囲だけで処理するもんだとばっかり思ってたけど、複素数の世界に持っていってしまえば留数で一発！！はい計算終わり！！フーリエ変換ってよく見たら \( \mathrm{exp} \) の中身にいらっしゃいますもんね、虚数単位。

数学勉強したことない人にはわからないし、勉強した人にはとてつもなく当たり前の話だけど、つまりこういうことであーーーる

\( f(z) \)は実軸上に特異点がなくて、定数 \( k, M > 0 \) に対して \( |f(z)| \leq \frac{M}{R^k} : (z=Re^{i \theta}) \) が成り立っている時

$$ \int _{- \infty} ^{\infty} f \left( p \right) \mathrm{exp} \left( ipx \right) \mathrm{d} p = 2 \pi i \sum_{k} \mathrm{Res} \left( a_k \right) $$

である。ただし、 \( x \) は正の実数定数であり、右辺は 複素平面の上半面にある極における留数の和だよ。

 これ、左辺はフーリエ変換になってるんだよね！よく使いそうだから覚えておかなきゃ！

はいおやすみ！！！！